故障检测门限值 ε 的确定

论文原文

假设两路冗余飞控数据 X、Y 相互独立，且均服从均值为 μ、方差为 σ² 的正态分布。定义两路数据的差值（残差）为 Z = X − Y。由于相互独立的正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，因此 Z 也服从正态分布。下面根据 Z 的概率分布确定故障检测门限 ε。

1已知条件

X, Y ~ N(μ, σ²)

且 X、Y 相互独立。

2定义差值随机变量

定义两路冗余数据的差值（残差）为：

Z = X − Y

3求 Z 的均值

E(Z) = E(X) − E(Y)

E(Z) = μ − μ = 0

4求 Z 的方差

由于 X、Y 相互独立，有 Cov(X,Y)=0，因此：

Var(Z) = Var(X − Y)

Var(Z) = Var(X) + Var(Y)

Var(Z) = σ² + σ² = 2σ²

Z ~ N(0, 2σ²)

因此，差值 Z 的均值为 0，方差为 2σ²，标准差为 √2σ。

5写出报警条件

设允许的双侧误报警概率为 λ，当两路数据的绝对差值超过门限 ε 时判定为异常，则：

|X − Y| > ε

P(|X − Y| > ε) = λ

P(|Z| > ε) = λ

6标准化

为利用标准正态分布表，将 Z 按其标准差 √2σ 进行标准化：

U = Z / (√2 σ)

U ~ N(0,1)

P(|U| > ε/(√2σ)) = λ

7令标准化门限为 a

a = ε / (√2σ)

P(|U| > a) = λ

8利用标准正态分布对称性

由于标准正态分布关于 0 对称，双侧概率可分为两个相等的单侧尾概率：

P(|U| > a) = 2P(U > a)

2P(U > a) = λ

P(U > a) = λ/2

9利用标准正态分布函数 Φ

由 Φ(a)=P(U≤a)，将右尾概率写成标准正态分布函数：

Φ(a) = P(U ≤ a)

P(U > a) = 1 − Φ(a)

1 − Φ(a) = λ/2

Φ(a) = 1 − λ/2

a = Φ⁻¹(1 − λ/2)

10求门限 ε

a = ε / (√2σ)

ε = √2σ · a

ε = √2σ · Φ⁻¹(1 − λ/2)

11代入常用故障率

λ	1 − λ/2	a = Φ⁻¹(1 − λ/2)	ε
10⁻⁴	0.99995	3.8906 ≈ 3.9	ε ≈ √2 × 3.9σ ≈ 5.5146σ
10⁻⁵	0.999995	4.4172 ≈ 4.4	ε ≈ √2 × 4.4σ ≈ 6.2216σ

12标准正态分布图

P(|U| > a) = 2P(U > a) = λ

P(U > a) = λ/2

Φ(a) = 1 − λ/2

13标准正态分布表（节选）

根据 Φ(a)=1−λ/2，在标准正态分布表中查找最接近的累计概率，即可得到 a。

查表对象：Φ(z) = P(U ≤ z)

z	.00	.01	.02	.03	.04	.05	.06	.07	.08	.09
3.8	0.9999277	0.9999305	0.9999333	0.9999359	0.9999385	0.9999409	0.9999433	0.9999456	0.9999478	0.9999499
3.9	0.9999519	0.9999539	0.9999557	0.9999575	0.9999593	0.9999609	0.9999625	0.9999641	0.9999655	0.9999670
4.4	0.9999946	0.9999948	0.9999951	0.9999953	0.9999955	0.9999957	0.9999959	0.9999961	0.9999963	0.9999964

λ	查表目标	对应位置	得到 a
10⁻⁴	Φ(a) = 0.99995	3.89 附近（行 3.8，列 .09）	a ≈ 3.8906 ≈ 3.9
10⁻⁵	Φ(a) = 0.999995	4.41 ～ 4.42 附近	a ≈ 4.4172 ≈ 4.4

若纸质表只列到 3.9 左右，则 4.4172 可用更完整的标准正态分布表、计算器或软件求得。

14由固定门限扩展为随数据尺度变化的门限

由前面的结果，当故障率取 10⁻⁵～10⁻⁴ 量级时：

ε = 5.5146σ　或　ε = 6.2216σ

5.5146σ ≤ ε ≤ 6.2216σ

因此，门限 ε 与标准差 σ 成正比。数据波动越大，允许的门限也应相应增大。

15与“残差均方根”的关系

前面已经得到残差 Z 的均值为 0、方差为 2σ²，因此其均方根为：

RMS(Z) = √E(Z²)

E(Z)=0　⇒　RMS(Z)=√Var(Z)=√2σ

所以式 ε=√2σ·a 也可直接写成：

ε = a · RMS(Z)

λ	a	用残差均方根表示门限
10⁻⁴	3.9	ε ≈ 3.9 · RMS(Z)
10⁻⁵	4.4	ε ≈ 4.4 · RMS(Z)

只有在 E(Z)=0 时，残差的均方根才等于残差的标准差。

16固定偏置与相对偏移

实际系统中的误差可分为固定偏置和随数据尺度变化的相对偏移。

误差类型	数学形式	处理方法
固定偏置	Z = b + 随机波动	估计常数 b，并进行补偿：Z_c=Z−b
相对偏移	波动幅度随数据尺度增大	令标准差与数据尺度成比例

17采用比例波动模型 σ = kμ

假定标准差与数据的典型幅值成比例：

σ = kμ

k = σ/μ

其中 k 为比例系数，论文给出的经验范围为：

0.01 ≤ k ≤ 0.1

将 σ=kμ 代入门限公式：

ε = 5.5146kμ　或　ε = 6.2216kμ

5.5146kμ ≤ ε ≤ 6.2216kμ

因此，当数据的典型幅值 μ 发生变化时，门限 ε 也按相同比例变化。

μ ↑　⇒　σ ↑　⇒　ε ↑

μ ↓　⇒　σ ↓　⇒　ε ↓

符号说明：这里的 μ 不能机械地理解为前面残差 Z 的理论均值，因为 E(Z)=0。在这一工程经验模型中，μ 应理解为表征正常数据幅值的均值或其他尺度量。若该均值可能为负，更规范的写法是 σ=k|μ|，或改用 RMS、平均绝对值等非负尺度量。

18利用正常数据确定实际门限范围

对多段正常运行数据分别进行统计：

Zᵢ = Xᵢ − Yᵢ

μ̂ = 正常数据的典型幅值

σ̂ = kμ̂　（采用论文的比例模型时）

ε̂ = 5.5146σ̂ ～ 6.2216σ̂

对不同时间、不同长度的正常数据重复计算，即可得到一组候选门限，并据此确定实际使用的门限范围。

19红框内容的数学关系

X,Y → Z=X−Y

Z ~ N(0,2σ²)

ε = √2σ · Φ⁻¹(1−λ/2)

λ=10⁻⁵～10⁻⁴　⇒　ε≈5.5146σ～6.2216σ

σ=kμ　⇒　ε≈5.5146kμ～6.2216kμ

最终结果

ε = √2σ · Φ⁻¹(1 − λ/2)

若 σ=kμ，则 ε = √2kμ · Φ⁻¹(1 − λ/2)

其中 Φ⁻¹ 为标准正态分布函数的反函数。