从零开始
系统理解 ADRC

1. ADRC 到底想解决什么？

控制器最怕的不是“系统有动态”，而是：我们不知道真实动态到底是什么，而且它还会变化。

2. ADRC 的一句话核心思想

这个思路可以拆成三个动作：

3. ADRC 的完整结构

先不要急着背公式。你可以先把 ADRC 看成一条非常清晰的“信息流”： 目标信号进入 → 形成期望轨迹 → 和估计状态比较 → 得到基础控制量 → 用扰动估计补偿 → 驱动对象 → 再用输出修正估计。

经典 ADRC 通常包含三个部分：

3.1 大框架：ADRC 在回路里做什么

先只记一件事：ADRC 站在参考输入和被控对象之间，比传统控制器多做了一步—— 先估计出对象受到的总扰动，再把它从控制量里减掉。

图中字母的含义

3.2 详细框架：把控制器方块打开

把上图中的“ADRC 控制器”展开，就得到下面的完整结构：TD 负责整理目标，SEF 负责生成基础控制量， ESO 负责估计状态与总扰动，补偿节点负责把扰动估计减掉。

信号：图中每个字母是什么

参数：需要你来定的量

3.3 详细框图里每条线代表什么

下面六张卡片用通用阶次记号：\(n\) 阶对象配 \(n+1\) 阶 ESO，多出来的那个状态记作 \(z_{n+1}\)。 二阶时 \(z_{n+1}\) 就是上图里的 \(z_3\)。

如果只讨论 LADRC，第二张图还能进一步简化：TD 可以弱化甚至省略，Feedback 改成线性 P/PD， ESO 改成线性 ESO，最终结构会更简洁。

4. 最关键的一步：定义“总扰动”

以常见二阶对象为例：

其中 \(f(\cdot)\) 可以包含：

• 对象内部未知动态；
• 非线性、摩擦和耦合；
• 外部扰动 \(w\)；
• 参数变化。

我们只选一个大致的输入增益 \(b_0\)，把原式改写为：

定义：

于是：

5. TD：为什么目标信号也要处理？

如果参考输入从 0 突然跳到 1，理想导数在跳变时刻非常大。 直接把这种指令送进高增益控制器，容易引起控制冲击、饱和或机械振动。

TD 的任务通常有两个：

一个便于理解的线性二阶 TD 可以写成：

它本质上是一个临界阻尼二阶跟踪系统：

6. ESO：把扰动当成一个“看得见的状态”

对二阶系统：

定义扩张状态：

则系统变为：

这里 \(h=\dot F\) 未知。ESO 的目标不是知道 \(h\)，而是通过测量误差不断校正， 让 \(z_1,z_2,z_3\) 分别逼近 \(x_1,x_2,x_3\)。

三阶线性 ESO

定义观测误差：

7. 控制律：先控制，再把扰动抵消

先设计一个“理想情况下”的基础控制量：

然后使用 ESO 给出的扰动估计 \(z_3\) 进行补偿：

代入对象：

当 ESO 估计准确，即 \(z_3\approx F\) 时：

为什么经典 LADRC 常常不用积分 I？

因为恒定或缓慢变化的扰动由 \(z_3\) 直接估计并补偿，不必再依赖误差积分慢慢累积补偿量。 同时，PD 可以保持干净的二阶闭环：

加入积分后会变成三阶：

因此极点配置、参数解释和抗饱和处理都会更复杂。

8. LADRC：把 ADRC 变得更容易调

原始 ADRC 常使用非线性 ESO、非线性反馈和非线性 TD。 LADRC 则把关键环节线性化，并用带宽统一参数化。

9. 一阶 LADRC

假设对象可以近似写成：

二阶 LESO

控制律

带宽参数化

一阶对象配二阶 ESO；ESO 比对象阶次多一阶，多出来的状态就是总扰动。

10. 二阶 LADRC

对象：

三阶 LESO

控制律

带宽参数化

11. \(\omega_c\) 与 \(\omega_o\)：一个管“跑”，一个管“看”

为什么 \(k_p,k_d\) 是这样来的？

希望二阶闭环为临界阻尼：

展开并对比系数：

所以：

为什么 \(\beta_1,\beta_2,\beta_3\) 是这样来的？

把三个 ESO 极点都配置在 \(-\omega_o\)：

两者通常怎么选？

工程上常从 \(3\sim5\) 倍开始。观测器通常要比控制器快，但过快会放大测量噪声和离散误差。

从调节时间反推 \(\omega_c\)

临界阻尼、2% 误差带下，可用：

12. LADRC 参数计算器

先给出期望调节时间，再选择观测器相对速度，自动得到二阶 LADRC 参数。

13. 交互仿真：观察跟踪、抗扰与噪声

仿真对象为：

LADRC 不直接使用 \(a_0,a_1\)，只使用 \(b_0\)。对象内部动态与扰动统一进入总扰动。

14. 数字控制器如何实现？

连续公式最终要在单片机、DSP、PLC 或实时程序中离散执行。

二阶 LADRC 的最小实现流程

复制// 每个采样周期执行一次
// 输入：reference r, reference derivative r_dot, measured output y
// 状态：z1, z2, z3
// 参数：b0, wc, wo, dt

kp = wc * wc
kd = 2 * wc

beta1 = 3 * wo
beta2 = 3 * wo * wo
beta3 = wo * wo * wo

// 1) 计算观测误差
eo = y - z1

// 2) 更新 LESO
z1_dot = z2 + beta1 * eo
z2_dot = z3 + b0 * u_prev + beta2 * eo
z3_dot = beta3 * eo

z1 += dt * z1_dot
z2 += dt * z2_dot
z3 += dt * z3_dot

// 3) 状态误差反馈
u0 = kp * (r - z1) + kd * (r_dot - z2)

// 4) 扰动补偿
u = (u0 - z3) / b0

// 5) 输出限幅
u = clamp(u, u_min, u_max)

u_prev = u

实际工程还需要加入

• 控制输出限幅与变化率限制；
• 启动阶段的状态初始化；
• 传感器异常值处理；
• 必要的测量滤波，但避免引入过大相位滞后；
• 无扰切换与手自动切换；
• 对 \(z_3\) 或补偿量进行合理限幅；
• 更稳定的离散化方法，例如双线性变换或精确离散模型。

15. 推荐调参流程

现象—原因—处理

16. 初学者最容易踩的坑

17. ADRC 与 PID：不是谁“绝对更好”

18. 用一张逻辑链把 ADRC 记住

19. 记忆卡：把 ADRC 压成十句话

前面十八章是“为什么这样做”。这一章只留“考试前五分钟要看的东西”—— 每个记忆点都是一句可以背下来的结论，加上它成立的理由。

记忆点 1：所有机关只为一件事——把对象变成积分串联型

补偿之后 \(\ddot y\approx u_0\)，对象在控制器眼里就是一个纯双积分器 \(1/s^2\)—— 没有摩擦、没有耦合、没有参数变化、没有负载。这种“\(\dot x_1=x_2,\ \dot x_2=u\)”的结构叫 积分串联型（cascade / chain of integrators）。

一旦成了积分串联型，控制就没有难度了：\(u_0=k_p e_1+k_d e_2\)，闭环 \((s+\omega_c)^2\)， \(k_p=\omega_c^2,\ k_d=2\omega_c\)。PD 之所以够用，是因为难的部分已经被 ESO 干掉了， 而不是因为对象本来就简单。

记忆点 2：观测器带宽必须比控制器带宽大

原因在于控制律用的全是估计值：\(u_0=k_p(v_1-z_1)+k_d(v_2-z_2)\)，补偿量也是估计值 \(z_3\)。 如果 ESO 比控制器慢，控制器就是在拿过期的状态做高增益反馈——等价于回路里插了一段相位滞后， 结果就是振荡甚至失稳。所以“先看得清，才能跑得快”，顺序不能反。

但也不是越大越好，代价有三条，都随 \(\omega_o\) 迅速变坏：

记忆点 3：推箱子——ADRC 比 PID 多用了两条信息

场景：你要把一个箱子沿桌面推到某个位置。同一个任务，PID 和 ADRC 手里握着的信息量完全不同。

把这个故事讲全，就是四步：

1. 我知道自己使了多大劲。这就是把 \(u\) 送进 ESO 的那条线。PID 从头到尾不使用 \(u\)—— 它只看结果，不看自己的动作。
2. 我心里有个“本该如何”的模型。以我这个力气推这么个箱子，本该产生这么大的加速度， 这就是 \(b_0u\)：一个粗糙但够用的标称模型。
3. 我把“本该走多快”和“眼睛看到的实际走多快”一对比。差出来的部分就是我没料到的东西—— 桌面涩了、箱子里装了铁块、有人在另一边拽。这个持续对比并修正的过程就是 ESO， 它的依据正是 \(e_0=y-z_1\)，它的结论正是 \(z_3\)。
4. 于是我立刻多加这么多劲把它抵掉（\(u=(u_0-z_3)/b_0\)）， 而不是像积分项那样，等误差攒够了再慢慢加力。

记忆点 4：“扩张状态”四个字，逐字拆开就懂了

之所以敢这么干，是因为我们只需要假设 \(\dot F=h\) 有界，完全不需要知道 \(h\) 是什么。 有了这个假设，\(F\) 就满足状态的定义，标准观测器理论直接套上来即可—— “扩张”一词的全部含义，就是把不可测的未知量升格成状态，从而合法地去估计它。

记忆点 5：ESO 里那个积分，消的是“我的模型”和“实机”之间的稳态误差

看 \(z_3\) 的方程，它是一个纯积分器：

只要 \(e_0\neq0\)（我的估计和实机对不上），这个积分就一直往上爬，直到 \(e_0\to0\)。 这跟 PI 里的 I 消除稳态误差是同一个机理，区别只在“积的是谁的误差、顶出来的是什么量”：

由此可以直接读出两个结论：ESO 稳态时必然 \(e_0=0\)，即 \(z_1=y\)； 对常值总扰动，\(z_3\) 零稳态误差地收敛到 \(F\)。 但如果 \(F\) 是斜坡（\(\dot F=\)常数），三阶 ESO 会留下一个固定的稳态偏差—— 要消掉它，就得再扩一阶（把 \(\dot F\) 也当成状态）。

记忆点 6：积分串联型 ＋ PD 比 PI 少一阶

记忆点 7：极点配置在这里只干一件事——把 5 个参数绑成 2 个

全篇一共只做了两次极点配置，各管一件事：

为什么都取重根？不是因为最优，是因为最省参数：重根让整组增益只由一个数决定， 而且没有振荡模态。如果你愿意多花参数，把三个观测器极点分散配（例如把最快那个拉回来一点） 可以换来更低的噪声灵敏度，代价是失去“一个旋钮”的便利。

记忆点 8：观测器矩阵的特征值，就是估计误差的衰减率

令估计误差 \(\varepsilon=x-z\)，把对象方程减去 ESO 方程，误差动态是：

关键在于 \(A-LC\) 的特征多项式恰好就是上一节配置的那个：

从这一个式子能直接读出四件事：

• 为什么 \(\beta\) 不能乱填。特征值必须全在左半平面，否则观测器自己先发散—— 和对象稳不稳定完全无关。
• 误差为什么不会归零。驱动项里还剩 \(h=\dot F\)。\(h\) 有界时误差有界， 界随 \(\omega_o\) 增大而缩小。这就是“ESO 估不了变化太快的扰动”的定量含义。
• 三重根的形状。重根意味着衰减包含 \(t\,e^{-\omega_o t}\)、\(t^2e^{-\omega_o t}\) 这类项， 起步略慢、无振荡，这正是 ESO 上电初期那段“甩头”的来源，可用状态初始化缓解。
• 离散化的硬约束。前向欧拉后误差矩阵变成 \(I+T_s(A-LC)\)，特征值是 \(1-\omega_oT_s\)（三重）。 要求 \(|1-\omega_oT_s|<1\)，即 \(\omega_oT_s<2\) 才是数学上的稳定边界； 工程上要留精度余量，取 \(\omega_oT_s\le0.1\)。这条判定已经做进第 12 章的计算器。

记忆点 9：\(b_0\) 是唯一必须由你给的模型信息

\(b_0\) 回答一个问题：我施加一个单位的输入，最高阶导数应该变多少。 它有三条硬性要求，严格程度递减：

1. 符号必须对。错了就是正反馈，一上电直接往错误方向跑。这是第一个要检查的东西。
2. 数量级要对。差 2～3 倍通常都能被 \((b-b_0)u\) 吸收进总扰动，由 ESO 兜住。
3. 宁大勿小。见下面的实测。

怎么估：阶跃初始斜率法。

• 开环（或低增益闭环）给一个已知幅值的输入阶跃 \(u^\ast\)；
• 看输出最高阶导数在阶跃瞬间的初值：二阶对象看 \(\ddot y|_{t=0^+}\)，一阶对象看 \(\dot y|_{t=0^+}\)；
• 则 \(b_0\approx\ddot y|_{0^+}/u^\ast\)。取初始时刻是因为此时对象内部动态还没起作用， \(f\approx0\)，测到的几乎是纯输入增益。

记忆点 10：三个最容易反过来记的点